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三國那個時代，有名東山隱者 1 結廬於深山，逃避戰亂、專心著述。

一日，雨過天晴，陽光普照，東山隱者捧著剛寫成的《孫子算經》欣喜地坐在青山下，凝神遐想。

布衣荊釵的東山隱姜提著一籃蕨薇，涉溪而來。

「夫子大功告成了罷?!」隱姜問道。

「大功告成了。但願這本《孫子算經》能流傳後世。自從《周髀算經》、《九章算術》問世以後，這幾百年民間傳誦發揚的算術道理，從來沒有人整理編輯。希望這本書能在這方面盡些力氣。隱姜，你說我為什麼偽托孫子？」隱者問道。

「喲！幾十年來，難道我還不明白你的心思嗎？自從東漢以後，重名不重實，又加上戰亂，只有清談玄理、陰謀詭詐的人才算高明。何況你雖遊遍天下，可是一不交結巨公顯宦，又不到處吹噓隱者之名，一輩子也成不了名動天下的「大隱(?)」所以，如果你不偽托孫子，那麼這本書一定湮沒失傳，幾百年來多少人的心血也會成空。此其一。」

「其二呢？」隱者點頭微笑問道。

「那更容易。還不是介子推老夫子的那句話「貪天之功，以為己力」，孔丘老夫子的那句「述而不作」。必須積累無數人力與 時間去摸索與探測，才能逐漸了解及發現真理。總括大成者，怎 能攘為己有，作此盜名欺世之事。」

「真吾妻也！真吾妻也！」隱者哈哈大笑。「數百年來流傳的韓信點兵問題，在這本書裡，也有一個較好的解法了。」

「那太好了，就請你指點吧。」隱姜說。

A.「原題是『三數剩二，五數剩三，七數剩二』。

    高中代數解法 :

          X   =  3 * k  + 2    

            X   =  5 * l + 3     

            X   =  7 * m + 2

         (X - 2) = 21 * k m   ==> X = 23, 23 = 3 * 7 + 2 同時 23 = 7 * 3 + 2  , km=1

          X  - 3  =  5 * l      ==> X = 23 - 3 = 20 = 5 * 4   

           (X-2)(X -3) = 105 * n  ==> 目視 21 * 20 = 420 = 105 *  4

          X² - 5X + 6 = 105 * n ==>  X² - 5X - 414 = 0 ; ( X - 23) (X + 18) = 0, X = 23

現在我們先求『三數剩一，五數不剩，七數不剩』的解答。我們可以從三十五的倍數中，找『三數剩一』的數目，譬如說，七十就是一個解答 。再求『三數不剩，五數剩一，七數不剩』的解答。在二十一的倍數中，二十一本身就是一解。另外求『三數不剩，五數不剩，七數剩一』的解答。在十五的倍數中，十五本身適合『七數剩一』。

          70 = 5 * 7 * 2 = 3 * 23 + 1

          21  =3 * 7  = 5 * 4 + 1

          15  =3 * 5  = 7 * 2  + 1

               70 * 2 = 3 * 23 * 2 + 2 = 5 * 7 * 4  

               21 * 3 = 5 * 4 * 3 + 3  = 3 * 7 * 3

               15 * 2 = 7 * 2 * 2  + 2 = 3 * 5 * 2 

七十，二十一，十五這三個數是解答這個問題的關鍵。這類數目可以定名為『用數』。把這三個用數分別乘剩數，二，三，二，然後相加。七十乘二得一百四十，二十一乘三得六十三，十五乘二得三十。一百四十，六十三，三十，三數相加得二百三十三。這就是原題的一個解答。另外用三乘五再乘七得一百零五，二百三十三加減一百零五的倍數就可以得到所有解答了。所以算出二十三，一百二十八等等都是解答。」

「這樣說來，終於求得『韓信點兵問題』的公式了。嗯，韓信手下可能祇有二十三名兵卒，竟然驚走漢高祖劉邦，可見算術的神奇莫測！」隱姜讚許道。

隱者談鋒很健，又繼續發揮道：

「天象周期循環不息，比如說，月的盈虧現象，五星（當時知道的辰星、太白、熒惑、鎮星、歲星，也就是現在水星、金星、火星、土星、木星）運行現象，日夜循環現象，四季輪替現象等等。凡是周期現象都孕含剩數的道理。普通計時用的月份、日期、時辰都是運用剩數觀念。剩數觀念源遠流長，以後一定蔚為大宗。可是那要等到天下太平民物鼎盛的時代了。到那時算術才能蓬勃發展，剩數的精深觀念，才能得到闡揚啊!那才真正夠得上『神鬼不測之機』。」

隱者與隱姜坐在青山下，出神遙想千年萬載後的中國。

故事講完了，現在讓我們一起研究一下孫子定理──或者中國剩餘定理。

「韓信點兵」的重要數學問題。當洋人了解中國人在十幾世紀前的貢獻，一致歡喜讚嘆，而把這個問題的解法命名為「中國剩餘定理」(Chinese Remainder Theorem) 以紀念中國人的偉大貢獻。現代中國人追思《孫子算經》的無名作者，而把這個定理命名為「孫子定理」。孫子定理──或者中國剩餘定理──成為近代代數，數論以及代數幾何中最重要的定理之一，它的光芒四射，照耀了無數角落。

數學的發展和數字的寫法以及公式的表達法有密切的關係。中國古代盛行代數，是受了中國優良的記數法的影響。到了近代，由於人類發明 ＝,－,＋,×,$\div$，以及用抽象符號 x,y,a,b 代表數字，使得代數成為易懂的數學。對於「剩餘」這個概念，我們也要引進一種符號來幫助了解，記憶。

首先「三數剩二」是什麼意思呢？那不過說某一個數 x 被 3 除剩餘 2；換句話，x-2 被3整除。我們用下式表示「三數剩二」

 \begin{displaymath} x \equiv 2 \pmod{3} \end{displaymath}

 定義1： 已知 a-b 被 m 整除，我們說「a、b 對模 m 同餘」。用下式（同餘式）表示。 
\begin{displaymath} a \equiv b \pmod{m} \end{displaymath}

反之， \begin{displaymath} a\not\equiv b \pmod{m} \end{displaymath}

表示「a,b 對模 m 不同餘」；換句話 a-b 不是 m 的倍數。

例1：  $25 \equiv -3 \pmod{7}$
例2：  $a \equiv 1 \pmod{2}$ 表示 a 是一個奇數。
例3：  $a \equiv 0 \pmod{2}$ 表示 a 是一個偶數。
例4： 「物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二」可用同餘式表示如下。 
\begin{eqnarray*} x & \equiv & 2 \pmod{3} \\ x & \equiv & 3 \pmod{5} \\ x & \equiv & 2 \pmod{7} \end{eqnarray*} 

「韓信點兵問題」就是求一組同餘式的公解。「$\equiv$」與等式「＝」有同樣的運算法則，那就是說：

定理1： 已知  $a\equiv b \pmod{m}$， $c\equiv d \pmod{m}$，那麼， $ac \equiv bd \pmod{m}$， $a+c \equiv b+d \pmod{m}$， $a-c\equiv b-d \pmod{m}$， $-a \equiv -b \pmod{m}$， $a \equiv a \pmod{m}$。

證明： 我們先證  $a+c \equiv b+d \pmod{m}$，讀者可以仿照我們的證法，去證明其餘公式。

根據「$\equiv$」的定義，我們知道 a-b = sm，c-d = tm 所以

(a+c) - (b+d) = (a-b)+(c-d) = sm+tm = (s+t)m

 那就是說， $a+c \equiv b+d \pmod{m}$ 證完。

在推演孫子定理（中國剩餘定理）的過程中，我們須要一個應用兩數互質（兩數的最大公約數是1）的定理，那就是：

定理2： 已知 m,n 適合下式， am+bn=1，那麼 m,n 互質，反過來說，如果 m,n 互質，我們可以找到 a,b，使得 am+bn=1

證明： 因為 m,n 的最大公約數可以整除 am+bn，而 am+bn=1，所以 m,n 的最大公約數是1，換句話， m,n 互質。反過來說，如果己知 m,n 互質，讀者可以應用輾轉相除法，求得 a,b 使得 am+bn=1，證完。

應用定理2，我們可以解答漂母數布匹的問題了，那就是下面的定理3:

定理3： 己知 m,n 互質，那麼下列一組同餘式： 
\begin{eqnarray*} x & \equiv & 1 \pmod{m} \\ x & \equiv & 0 \pmod{n} \end{eqnarray*}

有公解。

證明： 根據定理2，我們可以找到 a,b 使得 am+bn=1，所以 bn=1-am，那麼 $bn = 1-am \equiv 1 \pmod{m}$， $bn \equiv 0 \pmod{n}$，換句話，bn 是我們所求的一組公解，證完。

 系1： 己知 m1 與 m2，m1 與 m3，… m1 與 mt 都互質，那麼下列一組同餘式 
\begin{eqnarray*} x & \equiv & 1 \pmod{m_1} \\ x & \equiv & 0 \pmod{m_2} \\ & \vdots & \\ x & \equiv & 0 \pmod{m_t} \end{eqnarray*}

有公解。

證明： 根據已知條件，我們推論 m1 與  $m_2m_3\cdots m_t$ 互質。在應用定理3，我們知道 
\begin{eqnarray*} x & \equiv & 1 \pmod{m_1} \\ x & \equiv & 0 \pmod{m_2m_3 \cdots m_t} \end{eqnarray*}
 有公解。
顯然上面那組同餘式的公解就是 
\begin{eqnarray*} x & \equiv & 1 \pmod{m_1} \\ x & \equiv & 0 \pmod{m_2} \\ & \vdots & \\ x & \equiv & 0 \pmod{m_t} \end{eqnarray*}

 的公解，證完。

 
定理4： 己知 m1,m2,…,mt 兩兩互質，並且求出 a1 是  $x \equiv 1 \pmod{m_1}$， $x \equiv 0 \pmod{m_2}$，…， $x \equiv 0 \pmod{m_t}$ 的一個公解，a2 是  $x \equiv 0 \pmod{m_1}$， $x \equiv 1 \pmod{m_2}$， $x \equiv 0 \pmod{m_3}$，…， $x \equiv 0 \pmod{m_t}$ 的一個公解，以此類推，求出 a3,…,at。那  $n_1a_1 + n_2a_2 + \cdots + n_ta_t$ 就是下列一組同餘式  
\begin{eqnarray*} x & \equiv & n_1 \pmod{m_1} \\ x & \equiv & n_2 \pmod{m_2} \\ & \vdots & \\ x & \equiv & n_t \pmod{m_t} \end{eqnarray*}

 的一個公解。

 證明： 我們先證明  $x \equiv n_1 \pmod{m_1}$，讀者可以仿照我們的證法，去證明其餘同餘式。

根據己知條件，我們知道  $a_2\equiv 0 \pmod{m_1}$，  $a_3 \equiv 0 \pmod{m_1}$， …， $a_t \equiv 0 \pmod{m_1}$，應用定理1，我們得出  $n_2a_2 + n_3a_3 + \cdots + n_ta_t \equiv 0 \pmod{m_1}$，並且已知  $a_1 \equiv 1 \pmod{m_1}$，所以應用定理1，我們得出  $n_1 a_1 \equiv n_1 \pmod{m_1}$，再應用一次定理1，我們證明

 \begin{displaymath} n_1a_1+n_2a_2+\cdots +n_ta_t \equiv n_1 \pmod{m_1} \end{displaymath}

 證完。

上面的定理4事實上就是孫子算經裡的解法。 a1, a2,…,at 也就是孫子算經裡面提到的「用數」。定理4再加上下面的定理5就合成了數論中的孫子定理。

 
定理5： 己知 m1,m2,…,mt 兩兩互質。並且求出 a,b 是下列一組同餘式  
\begin{eqnarray*} x & \equiv & n_1 \pmod{m_1} \\ x & \equiv & n_2 \pmod{m_2} \\ & \vdots & \\ x & \equiv & n_t \pmod{m_t} \end{eqnarray*}

 的兩個公解。那麼 a-b 一定是  $m_1m_2\cdots m_t$ 的倍數。反過來說， $a\pm cm_1m_2\cdots m_t$ 也是那一組同餘式的公解。

 證明： 因為  $a\equiv n_1 \pmod{m_1}$， $b \equiv n_1 \pmod{m_1}$，應用定理1，我們得到  $a-b \equiv n_1-n_1 \equiv 0 \pmod{m_1}$，換句話，a-b 被 m1 整除。同樣道理 m2,…,mt 都可以整除 a-b。根據已知條件，m1,m2,…,mt 兩兩互質，所以 a-b 一定被  $m_1m_2\cdots m_t$ 整除，那就是說，a-b 是  $m_1m_2\cdots m_t$ 的倍數。反過來說，應用定理1， $a\pm cm_1m_2\cdots m_t$ 自然也是一個公解。證完。

上面所談的都是數論的內容。如果我們把上面的定義，定理，系以及證明中的整數  m,n,a,b,m1,n1,…，等等都換成一元多項式 m(x), n(x), a(x), b(x), m1(x), n1(x), … 等等。我們就得到方程式論中的孫子定理了。

例如定理3可以改寫成：

定理3： 已知 m(x), n(x) 互質，那麼下列一組同餘式， 
\begin{eqnarray*} x & \equiv & 1 \pmod{m(x)} \\ x & \equiv & 0 \pmod{n(x)} \end{eqnarray*}

有公解。

在許多抽象數學的領域中，也有孫子定理。不過，因為牽涉的入門知識太多，這兒也就一言表過不提了。

關於孫子定理，現代數學家已有廣泛透徹的研究。讀者如果有興趣，可以參看一點數論及近代代數的書籍。

這篇淺文的主要目的，也就是引起讀者對數學的興趣而已。

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